数学メモ

数学メモ

何の脈絡もなく，気になったことをメモしてるだけのページ。

permutation(順列)・combination(組み合わせ)

$_{n}P_{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$

$_{n}C_{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

色んな関数のグラフ

とりあえず描いてみた。

一番下（みずいろ）のがシグモイド関数ってヤツで， $\frac{1}{1+e^{-ax}}$ 　って形。グラフでは a=1 で，この a をゲインって呼ぶ。(-inf, inf)→(0, 1)の全単射（連続）。

対数関数

対数関数って言うと， $f(x) = \log_a x$ って形の関数。グラフにすると，

ってなる。一応説明すると，底が 0.5 の対数関数・底が 2 の対数関数・底が e（ネイピア数）の対数関数（自然対数）・底が 10 の対数関数（常用対数）ね。

更に一応付け加えると， e ってのは $f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x$ っていう性質がある数のことで， $e=2.71828...$ 。他にも面白い性質があるんですが，それはまたの機会に。

ちなみにGNUPLOT（上のグラフを描いてるソフト）には対数系の関数が log(x) と log10(x) の２つある（それぞれ，eと10を底とする対数）らしいんだけど，じゃぁ 2 を底とする対数はどうすんのか，一瞬悩んじった。

まぁ，当たり前なんですが，

$\log_a(x) = \frac{\log_n(x)}{\log_n(a)}$ なので，一つ対数関数があれば底は変換できるんだよね。

んで何で 2 を底とする対数関数なんて出したかって言うと，ある自然数 $n$ を２進法で表したとき，その桁数（文字列で表したときの長さ）が $\lfloor \log_2n \rfloor + 1$ になるって事実があるから。（ $\lfloor n \rfloor$ は，n の小数点以下を切り捨てるって意味。 $\lfloor 1.2 \rfloor = 1$ ね。プログラミング言語では良くある floor(n) って関数。）

…ホントか？以下，試してみた。

10進	2進	$\lfloor \log_2n \rfloor + 1$	$\log_2n$
1	1	1	0
2	10	2	1
3	11	2	1.58496250072
4	100	3	2
127	1111111	7	6.98868468677
128	10000000	8	7
256	100000000	9	8

確かにそうなる。

じゃぁ何でか。 $\log_2n$ は， $2$ を $\log_2n$ 乗したら $n$ になるって意味だから，小さい数から増えて行って位が上がる数になったら $\log_2n$ の値が１増えることになる。だから，その $\log_2n$ の小数点以下を切り捨てて，１の位の桁数１を足すと，全体の桁数が求められるわけだ。