数理論理

「含意」とは，「 P ならば Q 」の「ならば」を指す。

では，「 P ならば Q 」 は，どんな時に成り立つのか。

記号としては， あるいは と書く。

このとき，P と Q の各場合の「ならば」という演算子の真理値は以下の通りとなる。

P	Q
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

これね，普通に考えると意味がわかんない。そもそも「 P ならば Q 」って言ってんだから，P は条件で Q は結論なんじゃないかと。そしたら，P や Q が「真か偽か」だけじゃ「 P ならば Q 」の真偽なんか決められないんじゃないの？ってね。

だけど，数学で「ならば」ってのは「実質含意(material implication)」って呼んで，あくまで P と Q の真偽によってのみ真偽が決まるものだそうな。

Material implication is extensional in the sense that the truth value of “P materially implies Q” depends only on the truth values of P and Q; other kinds of implication are not extensional in this sense.

— Joel W. Robbin, Mathematical Logic(Dover, New York, 2006)

実質的含意¹⁾は，「P は Q を実質的に含む」の真理値が P と Q の真理値にのみ左右される，という点において意味がある。すなわち，他の種類の含意は，この点では関係がない。

そういや extensional って単語の意味もよくわかんない。恐らく「伸びる」とか「広がり」って意味なんだろうってとこまではわかるんだけど，上手く日本語で説明できない。ってか 本格的によくわかんない。

本題に戻ると，つまり数学で言う「ならば」ってのはそういうものなんですよ，と。だけどね，やっぱり何となく変じゃないですか。なので，Wikipedia:適切さの論理っていう議論があるらしい。